Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

BÀI 1
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

1.Phương trình tích dạng
Để giải giải phương trình

ta có thể làm như sau:

 Bước 1: Giải hai phương trình bậc nhất:

và

 Bước 2: Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình vừa giải được ở bước 1.
2.Phương trình chứa ẩn ở mẫu
 Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều
khác

được gọi là điều kiện xác định của phương trình.

 Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều
kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.

Trang 1

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

CHỦ ĐỀ 1
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

DẠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CƠ BẢN

Để giải giải phương trình

ta có thể làm như sau:

 Bước 1: Giải hai phương trình bậc nhất:

và

 Bước 2: Kết luận nghiệm: Lấy tất cả các nghiệm của hai phương trình vừa giải được ở bước 1.
Bài 1.

Giải các phương trình

a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)
Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

b)
Ta có

nên

hoặc


Ta có

với mọi

nên

nên do đó phương trình


Trang 2

vô nghiệm

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là

c)
Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

d)
Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
Bài 2.

và

Giải các phương trình
Trang 3

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

a)

b)
Lời giải

a)
Ta có

nên

hoặc



hoặc


Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là

;

b)

Ta có

nên

hoặc





Trang 4

và

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

Bài 4.

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a)

e)

c)

d)

Bài 5. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 6.

Giải các phương trình sau:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

Trang 5

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

DẠNG 2
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH CƠ BẢN

Bài 7.

Giải các phương trình
Trang 6

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)

Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

b)

Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

Trang 7

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS Toán 9 có lời giải đầy
đủ do mình biên soạn. Thầy, cô cần file Word có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc
facebook https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình
biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
c)

Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

d)

Ta có

nên

hoặc




Trang 8

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
Bài 8.

và

Giải các phương trình:

a)

b)

c)

d)

Lời giải
a)

Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

b)

Trang 9

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Ta có

nên

hoặc

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

,

c)

Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

d)

Trang 10

và

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
Bài 9.

và

Giải các phương trình:

a)

b)
Lời giải

a)

Ta có

nên

hoặc





Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

b)

Ta có

nên

hoặc


Trang 11

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là

và

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 10. Giải các phương trình
a)

b)

c)

d)

Bài 11.Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 12. Giải các phương trình
a)

b)

c)

d)

Bài 13.Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 14. Giải phương trình
a)

b)

c)

d)

Bài 15. Giải phương trình
a)

b)

c)

d)

Bài 16.Giải các phương trình sau:
a)

b)
Trang 12

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

c)

d)

e)

f)

g)

h)

Cánh Diều

DẠNG 3
ĐẶT ẨN PHỤ

+ Hiện tại mình chia sẻ file Word 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS Toán 9 có lời giải đầy
đủ do mình biên soạn. Thầy, cô cần file Word có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc
facebook https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
Trang 13

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình
biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS
Bài 17. Giải các phương trình:
a)

.

b)
Lời giải

a)

(1)

Đặt

khi đó (1) trở thành:

hoặc
hoặc
Với

ta có

hoặc
Với

ta có

hoặc
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là
b)
Đặt

(1)
khi đó (1) trở thành:

Trang 14

.

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

hoặc
Với

ta có:

hoặc
Với

ta có:

hoặc
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là
Bài 18. Giải các phương trình:
a)

.

b)

.

Lời giải
a)

Đặt

ta được:

hoặc
Với

ta có:
suy ra phương trình

Với

ta có:

hoặc
Trang 15

vô nghiệm.

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Vậy phương trình có 2 nghiệm

.

b.

.

Đặt

ta được:

Với

hoặc
Với

hoặc
Vậy phương trình có 4 nghiệm là

.
BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 19. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 20.Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)
CHỦ ĐỀ 2
PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU

Trang 16

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

 Trong phương trình chứa ẩn ở mẫu, điều kiện của ẩn để tất cả các mẫu thức trong phương trình đều
khác

được gọi là điều kiện xác định của phương trình.

 Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu, ta có thể làm như sau:
Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.
Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.
Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.
Bước 4: Kết luận nghiệm: Trong các giá trị của ẩn tìm được ở bước 3, các giá trị thỏa mãn điều
kiện xác định chính là các nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 21. Giải phương trình
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)
vì

nên

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
b)
Điều kiện xác định

Ta thấy

không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Trang 17

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
c)
Điều kiện xác định

Ta thấy

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
d)
Điều kiện xác định

Ta thấy

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
Bài 22. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)
Điều kiện xác định

Trang 18

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Ta thấy

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
b)
Điều kiện xác định

Ta thấy

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
c)
Điều kiện xác định

Trang 19

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Ta thấy

không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
d)
Điều kiện xác định

Ta thấy

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
Bài 23. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)
Lời giải

a)
Điều kiện xác định

Trang 20

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

hoặc
hoặc
Ta thấy

và

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

và

b)
Điều kiện xác định

Ta thấy

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
c)
Điều kiện xác định

Trang 21

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Ta thấy

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
d)
Điều kiện xác định

hoặc
hoặc
Ta thấy

không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
Bài 24. Tìm sau cho biểu thức

có giá trị bằng
Trang 22

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

Lời giải
Biểu thức có giá trị bằng 2 tức là

. Ta sẽ đi giải phương trình này.

Điều kiện xác định

Ta thấy
Vậy

thỏa mãn điều kiện xác định
là giá trị cần tìm

Bài 25. Tìm sau

cho

hai

biểu

thức

và

Lời giải
và

có giá trị bằng nhau nên

Điều kiện xác định

Trang 23

có

giá

trị

bằng

nhau,

với

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

hoặc
hoặc
hoặc
Ta thấy

không thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
Bài 26. Tìm sau cho hai biểu thức

và

có giá trị bằng nhau, với
Lời giải

và

có giá trị bằng nhau nên

Cách 1:
Điều kiện xác định

hoặc
hoặc
Ta thấy

hoặc
hoặc

vô nghiệm vì

thỏa mãn điều kiện xác định

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
Cách 2:
Điều kiện xác định

Trang 24

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Đặt

Cánh Diều

, phương trình trở thành

hoặc
Với

, ta có :

Ta thấy
Với

thỏa mãn điều kiện xác định
, ta có

(vô nghiệm) vì
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
+ Hiện tại mình chia sẻ file Word 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS Toán 9 có lời giải đầy
đủ do mình biên soạn. Thầy, cô cần file Word có tính phí thì liên hệ mình zalo 0978333093 hoặc
facebook https://www.facebook.com/truong.ngocvy.509/
+ Ngoài ra còn có tài liệu Toán 10, 11, 12 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS do mình
biên soạn theo chương trình thi mới 2025 của bộ giáo dục.
+ Toán 8 gồm 3 bộ sách Cách Diều + CTST+ KNTTVCS

BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Trang 25

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Bài 27. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

d)

Cánh Diều

Bài 28. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 29. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 30. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức

và

Bài 31. Tìm x sao cho giá trị của hai biểu thức

và

Bài 32. Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

e)

f)

Bài 33. Giải các phương trình sau:
a)

bằng nhau.

b)

Trang 26

bằng nhau.

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

c)

d)

e)

f)

Bài 34. *Giải các phương trình sau:
a)

b)

c)

d)

Bài 35. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
Lời giải
a)
Điều kiện xác định

Ta thấy

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
b)
Điều kiện xác định:
Trang 27

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

hoặc
hoặc
Ta thấy

và

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
c)

và
.

Đặt

hoặc
Ta thấy

không thỏa mãn điều kiện

Với

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
Trang 28

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Bài 36. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)

Lời giải
a)
Điều kiện với mọi
Ta có

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :
b)
Điều kiện xác định:

Trang 29

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

hoặc
hoặc
Ta thấy

và

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

và

c)
Điều kiện xác định:

hoặc
hoặc
Ta thấy

và

thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình.
Trang 30

Cánh Diều

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là :

và

Cánh Diều

d)
Điều kiện xác định:

(vô nghiệm) vì

.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

CHỦ ĐỀ 3
GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

Các bước giải toán bằng cách lập phương trình:
Bước 1: Lập phương trình
– Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.
– Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.
– Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.
Bước 2: Giải phương trình
Bước 3: Trả lời
Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thoả mãn điều kiện của ẩn, nghiệm
nào không, rồi kết luận.
Trang 31

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

Bài 37. Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50km. Sau đó 1 giờ 30 phút một xe máy
cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5
vận tốc xe đạp.
Lời giải
Gọi vận tốc của người đi xe đạp là
Vận tốc người đi xe máy là:

(km/h) (x>0)

km/h

Thời gian người đi xe đạp đi là:
Thời gian người đi xe máy đi là:

h
h

Do xe máy đi sau 1h30' và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình:

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy vận tốc người đi xe đạp là 12km/h.
Bài 38. Một ô tô phải đi quãng đường AB dài 60 km trong một thời gian nhất định. Xe đi nửa đầu
quãng đường với vận tốc hơn dự định 10 km/h và đi nửa sau kém hơn dự định 6 km/h. Biết ô tô đến đúng
dự định. Tính thời gian dự định đi quãng đường AB ?
Lời giải
Gọi vận tốc ô tô dự định đi quãng đường AB là: x (km/h) (x > 6)
Xe đi nửa quãng đường đầu với vận tốc là: x + 10 (km/h)
Xe đi nửa quãng đường sau với vận tốc là: x – 6 (km/h)
Theo bài ra ta có:

Trang 32

Đại số 9 - Chương 1: Phương trình và hệ phương trình bậc nhất – Tự luận có lời giải

Cánh Diều

(thỏa mãn điều kiện)
Vậy thời gian dự định đi quãng đường AB là: 60 : 30 = 2 (giờ)
BÀI TẬP RÈN LUYỆN
Bài 39. Một xe vận tải đi từ địa điểm A đến địa điểm B với vận tốc 50 km/h, rồi từ B quay ngay về A
với vận tốc 40 km/h. Cả đi và về mất một thời gian là 5 giờ 24 phút. Tìm chiều dài quãng đường từ A đến
B.
Đáp số:

.

Bài 40. Một người đi xe gắn máy, đi từ địa điểm A đến địa điểm B trên một quãng đường dài
Lúc trở về người đó đi theo con đường khác dài
Thời gian lượt về bằng

.

với vận tốc kém hơn vận tốc lượt đi là 6 km/h.

thời gian lượt đi. Tìm vận tốc lượt đi và lượt về.

Đáp số: Vận tốc lượt đi là 30 km/h; vận tốc lượt về là 24 km/h.
Bài 41. Một xe tải đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h. Đi được 24 phút thì gặp đường xấu nên vận tốc
trên quãng đường còn lại giảm còn 40 km/h. Vì vậy đã đến nơi chậm mất 18 phút. Tìm chiều dài quãng
đường từ A đến B.
Đáp số:

.

Bài 42. Một ô tô đi quãng đường dài 60 km trong một thời gian đã định. Ô tô đi nửa quãng đường đầu
với vận tốc hơn dự định là 10 km/h và đi nửa quãng đường còn lại với vận tốc thấp hơn dự định là 6 km/h
nhưng ô tô đã đến đúng thời gian đã định. Tính thời gian ô tô đã dự định đi quãng đường trên.
Đáp số: 2 giờ.
Bài 43.

Một xe ô tô đi từ Hà Nội về Thanh Hoá. Sau khi đi được 43 km thì dừng lại 40 phút. Để về đến

Thanh Hoá đúng giờ đã định nó phải đi với vận tốc bằng 1,2 lần vận tốc trước đó. Tính vận tốc lúc đầu,
biết rằng quãng đường Hà Nội - Thanh Hoá dài 163 km.
Đáp số: 30 km.

Trang 33